03 desember, 2012

Å danne seg ut

Vi hadde vinteraktivitetsuke. Ei uke i bitende kulde oppi Vauldalen et sted - med en stor mengde aktiviteter for snø og vinter. Noen få studenter mente dette ikke var verdt pengene, og de fikk snart gjennomslag for sin sak.

Vi hadde tverrfaglige juleverksteder. Jeg vet ikke hvor disse ble av, men de forsvant nok i den mengden av timer som skulle telles, kvantifiseres, utgiftsføres, fraværsføres og hva vet jeg.

Vi hadde andre tverrfaglige temaer som forskjellighet, språk, kommunikasjon, uteskole, estetikk, barn i sorg og krise, etikk - og mange andre.

Vi samarbeidet om å bruke digitale verktøy både SOM en grunnleggende ferdighet, OM en grunnleggende ferdighet og som hjelp  i de forskjellige fagene hvor det er hensiktsmessig å bruke slike verktøy i læringsarbeidet.

Alt dette dreide seg om å se seg selv, læreren, elevene og skolen i en litt større sammenheng enn hva fagets ytterkanter definerte. Eller kanskje man kan kalle det danning. Vi skal tross alt utdanne lærere. Nå har nesten alle disse tingene forsvunnet og det er ikke lenger tid til å fordype seg i et tema, da vi er presset på ressurser og må igjennom ei liste av målbare ferdigheter som kan prøves i form av en vurderingssituasjon. (Noen fra det øvrige skoleverket som kjenner seg igjen?)


Vi har forresten fått et nytt tilbud, ei uke med danning som tema. Det høres ut som et sikkert tegn på at vi bruker for lite tid og penger på nettopp det - danning. Får vi utdanning som ukestema i neste omgang?

12 november, 2012

Pensum 2

I dag feires at jeg oppdaget at jeg er brukt som pensum ved Høgskolen i Bergen! (http://student.hib.no/fagplaner/al/emne.asp?kode=GUMA1110&ver=1) Rart med det, det er slike småting som man setter pris på.


Og så er det andre ting, større ting, som man setter enda større pris på :)

06 november, 2012

Faktordiagrammer

Gøy å faktorisere? Mjæ... Det fins ferdige verktøy for slikt på nettet, og det er også lærerikt å lage en enkel Excel-fil som viser deg om et tall er primtall eller ikke. Noen tar den helt ut og lager en primtallsfaktorgenser.

Et faktordiagram er en måte å framstille en faktorisering på. Du kan lese inngående om det her og du kan finne en flott måte å gjøre akkurat dette på på denne adressen: http://mathmunch.wordpress.com/tag/graphs/ . I likhet med meg har du kanskje bare sett faktortrær før, så slike diagrammer var ganske morsomme! Her har noen laget slike faktordiagrammer om til en vakker animasjon som viser hvordan vi kan forestille oss primtallsfaktoriserte tall:

http://www.datapointed.net/visualizations/math/factorization/animated-diagrams/

Eller se på hvordan man dyrker faktortrær: http://www.ventrella.com/numbertree/ 

30 oktober, 2012

Any questions?

Jeg skjønte det - den dagen da ingen har spørsmål om andregradsformelen så kommer det til å løsne uante krefter: http://endlessorigami.com/2012/10/30/any-questions/

27 oktober, 2012

Pi motbevist!

Ja, jeg vet ikke helt hva det vil si å bevise eller motbevise pi, men så vet jeg heller ikke hva som menes helt med gjennombruddet det skrives om i en artikkel i siste Heimdalsbladet (hjemmesida er ikke spesielt oppdatert eller innholdsrik, så dere finner ikke artikkelen pr. nå). Det er sikkert ikke lov å skanne inn og legge ut artikkelen heller, til tross for at avisa er gratis, men en faksimile - som det så fint heter - er vel innenfor lovens grenser.

Faksimile fra Heimdalsbladet, utgitt 25.10.12

I denne artikkelen skrives det om en en dame som nylig har utgitt bok. Du kan lese om boka her: http://www.edenshave.net/Fullf-re-mesterverket.html. Blant mye - MYE - innhold finner vi også at

Ingen har tidligere fått Pi til å gå opp, det har vi gjort gjennom et komplett nytt regnesystem.
Dette er såpass banebrytende at jeg synes det er verdt en liten post på en matematikkblogg. La gå med at det ikke gir mening å si at pi "ikke går opp". (Det blir som å si at sju ikke går opp. Men det kommer vel _litt_ an hva det skal gå opp i...?) Vi får heller anta at det hun mener er at pi ikke kan skrives som brøk, eller ikke har et endelig antall desimaler. Altså at vi ikke kan bruke våre tall til å skrive "hele" pi. Lambert beviste at pi er et irrasjonelt tall i 1770, et bevis som senere ble publisert i "Elements de Geometrie" av Adrien-Marie Legendre (sjekk bildet av han på Wikipedia - han ser virkelig bøs ut!). Det vil si at han beviste at pi, i likhet med kvadratrota av 2 og uendelig mange andre tall, ikke kan skrives som en brøk med hele tall i teller og nevner. Så vi har altså muligens i et kvart årtusen gått rundt og tatt feil, skal man tro Heimdalsbladet!

Det ville være av største interesse om dette kunne formidles til den vitenskaplige verden, så vi får vente i spenning på fortsettelsen!
Skulle du få lyst til å lese mer om folk som har jobbet med pi, eller som har latet som de har jobbet med pi, så kan du se på den norske Wikipedia-sida. Et sitat jeg syntes var litt morsomt var følgende fra forskning.no:
Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk pi, som var nøyaktig 3.125.
 Videre inne på nettsiden finner vi følgende:

"Man har nu en størrelse, der gaar under det populære navn "Haandværker-Cirkelen", til hvilken der ikke anvendes mere end de to første decimaler av PI = 3.14 , og naar der her er benyttet en PI = 3.14375, er dette egentlig ikke for at det strengt tatt behøves at benytte mer end 2 decimaler, men fordi man jo helst bør paavise en rimelig opprindelse for tallet.

Hvis noen er i tvil: Boka ble gitt ut på eget forlag.



09 oktober, 2012

Fargeleggingsbok

Jeg har laget en del fargeleggingsbilder til minstepia innimellom. Ikke rare greiene, bare noen roser og polare grafer på GeoGebra, som hun synes det er morsomt å fargelegge. Se for eksempel på http://mattegreier.blogspot.no/2012/10/pen-pendel.html for et eksempel på hvordan GeoGebra kan brukes til å lage flotte mønstre! På lulu.com kan du laste ned gratis ei hel bok av liknende art, laget av en for meg ukjent type ved navn Marshall Hampton. Gå til
http://www.lulu.com/shop/marshall-hampton/a-mathematical-coloring-book/ebook/product-17416592.html for å hente boka (du kan også kjøpe den i papirformat der).

I dag kom jeg imidlertid over noen som tok den enda et skritt videre, ved å lage den første open source fargeleggingsboka for å lære om elektronikk (Du vet, Ohms lov og alt det der). Sjekk den ut på http://adafruit.com/coloringbook.

08 oktober, 2012

Nok en Android kalkulator

Men de er flotte og ofte morsomme og litt nyskapende, disse kalkulatorappene for Android. Dagens bidrag er denne: http://www.appbrain.com/app/calculator-plus-free/com.digitalchemy.calculator.freedecimal

Kickstarter: GeoGebra for iPad

Jeg la igjen en liten slant hos denne gjengen her, som samler inn penger til å lage GeoGebra for iPad. Målet om 10000 USD er allerede nådd, så her kan det også bli Android-versjon (og det skulle jo bare mangle! :)

Surf videre til http://www.kickstarter.com/projects/geogebra/geogebra-for-the-ipad for å donere en tjuelapp eller noe sånt for å få disse prosjektene til å bli en realitet!

06 oktober, 2012

Entreprenøren Sune

Etter to dager med konferanse på Royal Garden var det ingen tvil om at høydepunktet var avslutningen, nemlig Sune Häggmark og hans "livsprosjekt" Moosegarden. Konferansen handlet om entreprenørskap, muligheter, pedagogikk osv, men den sjarmerende svensken lot egentlig alt det der ligge og fortalte villig vekk om produktene sine. Andre innlegg på konferansen var helt klart mer faglig relevant, men ikke like morsomt!
Penger laget av elgbæsj

Sune startet en "elgebedrift" etter å ha vært ganske misfornøyd med sin vanlige jobb. Løsningen var oppdrett av elg, som skulle vise seg å bli en gullgruve. Tilfeldigvis er det slik at avføring fra elg er helt rent, uten noe styggedom i - grunnet kostholdet til elgen. Sune begynte dermed å lage papir av elgebæsjen og det solgte som, ja, hakka møkk, bokstavelig talt. Senere ballet det på seg med elgmelk, Bailey's (Belgleys), honning, såpe... og det tok av til alle verdenshjørner, dyrene ble flere, artene ble flere. Giraffbæsj var visstnok hans siste stunt.

Sesjonen avsluttes med at alle lærer seg elgens brunstbrøl. Morsomt, dog ikke særlig pent... Poenget er at der noen bare ser dritt, ser andre gull, noe som er viktige ferdigheter å ha i et land der vi utdanner mennesker uten å vite hva slags ferdigheter de faktisk har bruk for i den verden de kommer ut i når de er ferdige med skolegangen.



Les mer om det fantastiske elgeprosjektet og produktene på http://www.moosegarden.com/ . (Häggmark var svært dyktig på markedsføring, og der fikk han ytterligere noen klikk til og litt mer reklame... )

02 oktober, 2012

Pen pendel

Trykk Ctrl+F for å viske sporene...

21 september, 2012

Finn neste ledd i tallfølgen

Tallfølger er tema vi ofte er innom på lærerutdanningen. Det dreier seg om å finne for eksempel det neste tallet i en følge eller et tall langt uti følgen. Til det kan vi bruke rekursive og eksplisitte (direkte) formler, eller vi kan tenke på andre måter. Eksplisitt formel går også under betegnelsen "det vanskeligste vi har på lærerutdanningen!"
Her er en morsom test for å finne ut hvordan du ligger an når det gjelder tallfølger! Hvor mange klarer du?

http://mathtest.idiotworld.com/

13 september, 2012

Google this!

Kopier uttrykket nedenfor og lim det inn i Google!

2 sqrt(-abs(abs(x)-1)*abs(3-abs(x))/((abs(x)-1)*(3-abs(x))))(1+abs(abs(x)-3)/(abs(x)-3))sqrt(1-(x/7)^2)+(5+0.97(abs(x-.5)+abs(x+.5))-3(abs(x-.75)+abs(x+.75)))(1+abs(1-abs(x))/(1-abs(x))),-3sqrt(1-(x/7)^2)sqrt(abs(abs(x)-4)/(abs(x)-4)),abs(x/2)-0.0913722(x^2)-3+sqrt(1-(abs(abs(x)-2)-1)^2),(2.71052+(1.5-.5abs(x))-1.35526sqrt(4-(abs(x)-1)^2))sqrt(abs(abs(x)-1)/(abs(x)-1))+0.9

20 august, 2012

Mathematics Teacher

For første gang har jeg artikkel i amerikansk tidsskrift! Jeg har tidligere såvidt skrevet litt om Fugletetraederet her, og i Tangenten i 2005 hadde jeg en norsk artikkel om den. Nå har jeg utvidet og oversatt den slik at den er å finne i siste nummer av Mathematics Teacher fra NCTM. Ble ganske profft, synes jeg selv! :) Mathematics teacher er et ganske vidtrekkende tidsskrift som profilerer seg mot det som tilsvarer årene rundt videregående skole her til lands. Hadde vært morsomt å finne ut hvor mange som leste denne utgaven, men den infoen var jammen ikke helt lett å få tak i.



Prossessen for å få noe antatt i Mathematics teacher er nok lettere enn i forskningsjournaler, da det er lærere som er markedet her og ikke forskere. (Kanskje burde det vært samme sak :) Etter tre runder med fagfellevurderinger ble den endelig klar, og etter det tok det ytterligere et år før den plutselig dukket opp. De gjorde en fin jobb med forsida - ble jo rent så stilig!

31 juli, 2012

En likevel ikke så original ide...

Etter å ha tapt og vunnet Wordfeud litt om hverandre ble det snart interessant å finne liknende spill for mobiltelefonen. Aktuelle varianter var f.eks. Rumble, Mindfeud og Words with friends. Så avhengighetsskapende som disse spillene er, tenker man fort: her burde ikke veien til å introdusere litt matematikklæring være lang. Men hvordan lage et matematikkspill som ikke bare lærer deg algoritmer på andre måter eller lager en kvasiproblematikk for å lure inn litt matematikk i kunstige situasjoner? For slike fins det mange av!

Ideen var å lage et Rumblespill, der man i stedet for å danne ord danner regnestykker. Altså ikke svarene på regnestykker men spørsmålene. Undervisning og lærebøker er ofte veldig fokusert på svarene. Vi kan fort trene oss opp til å gjenkjenne 5 +3 og parere med at det blir 8. Men vi kan komme dypere inn i tallforståelsen ved å gjenkjenne 8 og så parere med hvilke regnestykker som vil gi svaret 8. F.eks. 5+3, 4+4, 7.5 + 0.5, 24/3 osv... Det er litt mer krevende men desto mer viktig. Og også litt vanskeligere å skulle lage et bra spill med... I tillegg får vi en bonus med at man kan få en bedre forståelse av likhetstegnet. Man har sett at mye jobbing med regnestykker på formen "2+5 = " fører til at ungene ser på likhetstegnet som noe som betyr "dette blir...". Mens det riktige heller burde vært "er det samme som". Likhetstegnet har ingen retning og det er essensiell kunnskap når man skal lære om algebra og likninger på et senere tidspunkt.
Det er ganske interessant at bare det å se på venstre side av likhetstegnet - eller det å gå over fra syntetisk (sette sammen) til analytisk (dele opp) tenkning - fører til at vi i en viss grad skifter fra å lære utenat til å heller undersøke og forstå.

Vel, ideen om et sosialt rumbleliknende spill har tydeligvis andre tenkt før meg, som f.eks. bloggeren på I Want to Teach Forever:  http://www.teachforever.com/2012/07/the-game-that-will-save-zynga-and.html . Ikke nok med det, det viser seg at spillet allerede har blitt laget og er tilgjengelig på Google Play: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mathtest.activity&hl=en . Spillet er nesten irriterende likt det jeg så for meg :)

Hensikten er at man på ett minutt skal ha nådd så mange måltall som mulig. På bildene til venstre ser vi at måltallet først er 13, så gjelder det å trykke på tall som tilsammen blir 13 (det er ikke så lett når klokka går!). Neste måltall er 16. Vanskegraden kan settes veldig fleksibelt på et spill som dette, ved å bytte ut måltallene og tallene man kan velge i. I tillegg kan det gis mer poeng jo flere tall man velger.

Bildene er hentet fra Androidversjonen av spillet. Jeg vet ikke om det samme finnes i Appstore.

13 juli, 2012

Film: Proof (2005)

Fikk endelig somlet meg til å se denne som hadde ligget på PVR'n en stund. Det dreier seg altså om et drama der en matematiker nettopp har avgått ved døden og datteren strever med å rydde opp i restene...

Bilde fra imdb.com
Anthony Hopkins er en matematiker som har vært overjordisk dyktig, og i løpet av filmen avdekkes også at datteren har et talent for matematikk. Hopkins karakter skal ha vært veldig nær et enormt bevis, og det hintes om at det er et "stort resultat om primtall". Kanskje det dreier seg om Goldenbachs formodning? Og mye av filmen dreier seg rundt hvorvidt faren faktisk har bevist dette eller ikke, om han klarte å jobbe matematisk gjennom alvorlig sinnslidelser og om datteren har bidratt på begge områdene... Skal ikke si mer om selve plottet, siden det er litt vanskelig å ikke avsløre noe. Datteren spilles av Gwyneth Paltrow og en matematiker som det er fullstendig opplagt det skal bli noe kjærlighetstgreier med, spilles av Jake Gyllenhaal. Kvalitet der i gården, altså.

Det som gjorde denne filmen til litt mer enn vanlig interessant for min del er tankene karakterene har rundt matematikk. Ikke et fnugg av matematikk blir vist, men dialogene de har rundt det tyder på at det er gjort research i forkant av manusskrivingen. Mye av det de snakker om vil være svært velkjent for matematikere, og sannsynligvis litt absurd å forholde seg til for ikke-matematikere. Matematikere fremstilles ofte stereotypisk i filmer, og også her går det i at de må være litt gærne for å vie livet sitt til stringent argumentasjon om det abstrakte, men tross alt er det gode og dype karakterer vi får se i denne filmen, om enn litt triste.

En spesielt fornøyelig scene er et likvake der matematikerne må omgår teoretisk-fysikere med store mengder alkohol tilgjengelig. Bandet som ankommer litt tilfeldig for denne kvelden har en låt kalt "i" på programmet - den består av tre minutters stillhet...

Anbefaler deg å se denne filmen, og spesielt om du har sans for matematikk!

Se trailer på http://www.cinemagia.ro/trailer/proof-dovada-701/

Les mer om filmen på http://www.imdb.com/title/tt0377107/

Fordypning: Se flere filmer om gode, men litt avsporede matematikere i A beautiful mind (2001) og Pi (1998).

26 juni, 2012

Funksjonsplotter

En funksjon ser vi ofte som en strek som blir tegnet ved hjelp av et funksjonsuttrykk. Det kan gjerne drukne litt, det at grafen egentlig er en samling av punkter der det er bidrag fra både en uavhengig og en avhengig variabel. I appleten under har jeg tegnet den uavhengige variablen (den valgfri) med grønt, og den avhengige (ikke valgbare) variablen med rødt. Grafen framtvinger seg selv og er tegnet i rødt. (Dette må ikke tolkes politisk!)

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.5 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

22 juni, 2012

Officeporn!

Officeporn (men #sfw :-)





Skal ikke skryte på meg å være supermiljøvennlig på alle fronter, men denne stiftemaskina uten stifter er ganske stilig uansett! Et trykk på den magiske knappen og vips stanses det ut en flik som pent brettes inn i et snitt i arket. Mmm....

16 juni, 2012

Stemningsrapport etter eksamen, del II

Følte for å følge opp rapporten fra muntlig eksamen, men en liten oppdaterng:


Etter at eksamen, der studentene blant annet har uttalt seg om de sju forskjellige båndmønstrene vi ser (seks av) over, kom det for en dag at ikke alt hadde vært en dans på roser under eksamensavviklingen.



Min gode kollega Hans Kristian har lagt seg til en svært krevende sensor-stil, noe som har gått ut over den fysiske helsa hans. Mye  gnukking av albuer på eksamensbordet i fire dager har ført til intense brannsår på begge armer.
Verneombudet har sett på saken, men stilte seg undrende og var maktesløs.
Vi ønsker god bedring og gir et tips med på veien til alle andre sensorer. Skulle dere komme ut for en liknende eksamensulykke er det nok ikke Compeed som er det beste botemiddelet.

15 juni, 2012

Muntlig eksamen

Da er eksamen over for denne gang. Kanskje en like stor påkjenning for lærernes fire dager, som for studentenes halvtime. Jeg ville ikke ha byttet.

Fire dager med omlag hundre studenter. Over tusen studiepoeng er sendt med dem ut i sola eller regnet og over skyene med Norwegian ut til alle rikets kroker. Og igjen ligger bare makulerte papirer, samt en del ferdig skrellet spon fra Faber-Castell, ikke ulikt løvhaugen i hagen på høsten, verken i farge, symbolikk eller nytteverdi.
Fire dagers kvess, må ikke forveksles med tredagersskjegg
14 temaer, hvor ligger favoritten og dødsangsten?
 
Siden jeg praktiserer gjenbruk oppdaget jeg at en av konvoluttene hadde skjulte budskaper fra i fjor... Pussig nok turte ingen å ta denne konvolutten.

Kunsten å skrive så stygt at studenten som har eksamen ikke skal se hva vi skriver og bli distrahert av det.
NB! Dramatisk fortsettelse i stemningsrapport, del II!

10 juni, 2012

Einsteins gåte

Nok et spill / gåte som etter sigende skal ha sitt opphav hos Einstein...

http://www.flashanywhere.net/en/actiongames/18189-einsteins-riddle.html

Geografi

Ikke så mye med matematikk å gjøre dette, men et morsomt spill for klasserommet? Her er meningen å ramse opp så mange land man klarer på fem minutter. Stressende og ganske gøy!

http://www.sporcle.com/games/puckett86/dont_forget_islands

08 juni, 2012

Streiken over!

Endelig er streiken over, og det bærer tilbake til jobb. Foreløpig ingen resultat lønnsmessig, og kanskje blir det ikke det heller. Det vil si at avstanden til det kommunale,  fylkeskommunale og private økte enda mer. Igjen. Slik den har gjort i nesten hvert lønnsoppgjør. Men studentene våre burde være happy, dette er jo gode nyheter for deres framtidige karrierer :)

Så nå har vi brukt dagen til å finne ut hvordan i all verden vi skal få avviklet muntlig eksamen for hundre studenter, der 16 av dem allerede burde ha hatt eksamen, og sensorene skal flys inn fra Bergen. Får bare håpe det ikke blir opptrapping i vekterstreiken, slik at flymekanikerne også streiker. Da kan eksamen risikere å bli avlyst IGJEN...

Men det er iallfall en fin gangsti ned til jobb.


04 juni, 2012

Algebra for to hundre år sida

Ikke noe å si på håndskriften til den som laget kompendiet til min forfar for to hundre år sida...


Kanskje man burde tatt seg bryet med å skanne inn hele boka og legge den ut her ? Den er iallfall ikke beskyttet av copyrights, lenger :)

03 juni, 2012

Bardisken

I serien "variasjon over et tema"... Jeg la ut følgende oppgave på Facebook og instagram og fikk etter hvert en god del gode og kreative løsninger på problemet.


Jeg hadde forsåvidt ikke spesifisert en ganske så viktig betingelse, nemlig at hensikten var at DU skulle spandere en drink fra BARDISKEN på FIN DAME. Hva blir den korteste distansen du må gå for å få til det?
En matematiker ville selvsagt med en gang skjønne at det var en slik oppgave man skulle løse, mens andre kom med løsningsforslag som
- dropp drinken, skynd deg til dama
- Gå rett ned, kjøp flere drinker på turen langs bardisken for å klare å manne deg opp til å prate med dama.
- Dropp dama, gå for øl
- osv

Nok en selvfølgelighet for de som har sett dette før, men dette er altså samme oppgave som "Du står der, hesten din står der, du skal hente vann til hesten i elva og ønsker å gå så kort som mulig."

Her har jeg laget en interaktiv variant av oppgaven. Du kan flytte på det røde punktet for å se hvor du bør kjøpe drinken hen. Klikk der det står "fasit" så ser du hva som er det optimale for denne situasjonen. Du kan også flytte på deg selv, dama og bardisken for å prøve andre situasjoner.
Klikk på "forklaring" så får du et ekstra hint om hvorfor punktet blir akkurat der det blir...

"

30 mai, 2012

Forgjeves

At studenter leser forgjeves til avlyste eksamener, er en provoserende uttalelse fra NRK! Det hadde vært forholdsvis meningsløst om det er MENINGEN at det man lærer skal forsvinne i løpet av sommerferien.
(OK, noe var det kanskje godt å bli kvitt i løpet av en ferie, men hovedregelen er likevel "Kunnskap er lett å bære!")

29 mai, 2012

Converting Pi to binary: Don't do it!

Converting Pi to binary: Don't do it!@Everything2.com

Ganske morsomt. Så bra at vi ikke kan regne ut alle desimalene i pi!

Streik!


NONE shall pass!


Så har det blitt streik. Det er nok det som må til for å minne meg på om at jeg burde skrive et innlegg på denne nesten tørrlagte (og tørrvittige) bloggen. Som medlem av Forskerforbundet er jeg tatt ut i streik, sammen med blant annet lærere, førskolelærere, politiet, parkeringsvakter, renholdsoperatører m.fl. Det mest alvorlige ser ut til å være om losene i Oslo skulle streike, og da helt til det rammer bensintilgangen i landet. Forhåpentligvis blåser det over før den tid.
I media står det at vi streiker for tre kroner dagen. Det høres jo helt horribelt ut, og hadde det vært en lønnsøkning på tre kroner som hadde vært kjernen av saken hadde det nok vært langt over grensen til det pinlige å stå der. Hva i all verden tror de om oss på andre siden av landegrensene? Tre kroner dagen, det blir omlag seks hundre kroner å plusse på årslønnen sin. Det sier seg selv at DET i seg selv ikke er grunnen til streiken. Kloakken av kommentarfelt i nettavisene flyter over av innlegg om hvor egistiske vi er som streiker for så lite (Hørte i dag at det muligens bare er snakk om en krone i timen).
Det er forsåvidt greit at streikens grunnlag er at avstanden til de med lik eller mindre utdanning og tilsvarende jobber i det private øker. De tjener langt mer enn oss i det offentlige, men det er vi jo vant til. Problemet er at de også ØKER lønna si mer enn vi gjør. Fortsetter det slik vil det bli svært vanskelig å få de beste blant oss til å søke jobber i det offentlige. Og tross alt, det er greit å vite at de som ivaretar våre offentlige tjenester som f.eks. skoler og politi - ikke representerer noen underklasse.
Mange av studentene våre er bekymret for om eksamen blir avholdt, og det er det jo slett ikke sikkert den blir. Likevel er det fint at så mange av studentene viser forståelse for at dette i bunn og grunn dreier seg om deres fremtidige arbeidsplasser og en svært  viktig prinsippsak. (Og jo da, ikke alle er sinte, det meldes om at sju av ti støtter saken)

Under streiken har man oppgaver som f.eks. streikevakt (se bildet!). Meningen er å passe på så ingen streikende skal tjuvjobbe. En ganske ullen instruks der, og det var ikke så rent ulikt de man får som leirvakt under førstegangstjenesten. Mange glemte minner og spørsmål fra en svunnen tid i forsvaret kom til overflaten igjen:

- Hvorfor står vi her? Skulle vi stått et annet sted?
- Det er kaldt! Er det lov å hente seg klær? Kan vi gå inn?
- Er det mindre ubehagelig å være der enn her?
- Hvor er de andre?
- Hva gjør de andre?
- Gjør de det riktig?
- Gjør VI det riktig?
- Hva burde vi gjort? Ville vi gjort det riktig da?
- Hvor er det noe å spise?
- Er det lov å spise?
- Hvor er kaffen?
- Hva er instruksen vår?
- Vet de andre instruksen sin?
- Vet de andre instruksen vår?
- Hvem er de andre?
- ER det noen andre?
- Har alle gått hjem?

Alt i alt den samme mentale innstillingen og usikkerheten man hadde der man stod i tjue minus i stupmørkret i Harstad og lurte på hvem man er, hva i alle dager man gjør, hvor i all verden man er og hvorfor i huleste det har blitt slik!
(Bildet er tatt av Ola Erik)

16 mai, 2012

Dragonbox

Dragonbox er en Android/Windows/iOS-app som i media har fått tildels svimlende bra kritikker. Nå skal det kanskje ikke så mye til før media reagerer ekstremt når det presenteres noe som skal gjøre matematikken mer spennende - og desto mer grunn til å være skeptisk!
Jeg har ikke fått prøvd denne enda, og er derfor akkurat det - kledelig skeptisk. Bevisbyrden for at dette er fantastisk skulle egentlig ha ligget hos utvikleren, men nå er det tross alt media som hauser opp appen da... Nå kjenner jeg at jeg har ganske lyst til å prøve Dragonbox, og kommer til å kjøpe den neste gang jeg sitter med nettbrettet i hånda og husets femåring i fanget. Håper jeg blir overbevist!
Ved første øyekast liknet appen på det velkjent likningsspillet vi har brukt på lærerutdanningen i en årrekke (se f.eks. kapittel 3 i Algebra för alla (NCM)), og kanskje er det ikke så dumt med en elektronisk versjon av dette spillet for å tekkes de yngre lærende og for å slippe alt styret med konvolutter og binders eller liknende. Nå er likningsspillet riktignok bare egnet til å sette fokus på noen få fundamentale prinsipper innenfor algebra - det blir f.eks. noe komplisert med en gang det optrer brøker i likningene. Min skepsis er i første rekke at hvis spillet setter opp et sett av regler for å håndtere likninger så vil det bare bli en _annen_ algoritme for å løse et snevert sett av oppgaver, og sånn sett gjøre at man lærer mindre algebra enn uten spillet. Vi får se når vi har fått testet det en stund.

Jeg innbiller meg å ha sett en elektronisk versjon av likningsspillet i omløp, men jeg klarer ikke å finne denne igjen. Uansett, den er nok ti-femten år gammel og å sammenlikne Dragonbox med dette programmet er nok som å sammenlikne brukervennlighet og design til en Ferrari med en scooter. Uten hjul.

Gleder meg til å teste Dragonbox!

10 april, 2012

Gauss’ påskeformel

For ei stund sida kom jeg over Gauss’ påskeformel, altså en formel, eller rettere sagt algoritme, for å regne ut når påskedagen inntreffer.
Vi starter med å velge årstallet vi vil regne ut påskedagen for. Følg så algoritmen:
  1. Divider årstallet med 19. Kall resten for a
  2. Divider årstallet med 4. Kall resten for b
  3. Divider årstallet med 7. Kall resten for c.
  4. Divider (19·a+24) med 30. Kall resten for d.
  5. Divider (2·b+4·c+6·d+5) med 7. Kall resten for e.
  6. Legg sammen 22+d+e
  7. Dersom denne summen er 31 eller mindre, så har du nå direkte fått påskedagens dato i mars måned.
Dersom denne summen overstiger 31, så regner du ut ( d+e-9 ) for å få datoen i april måned.
Påskedagen inntreffer tidligst den 22. mars og senest den 25. april. Skulle du få 26. april, så flytt til 19. april, og hvis du får 25. april så flytter du til 18. april.


Dette er en Java-applet som er laget ved å bruke GeoGebra fra www.geogebra.org. Det ser ut som du ikke har installert Java. Vennligst gå til www.java.com Hentet fra Matematiska nedslag i historien (Stig Olsson och Ekelunds förlag AB, 1999)

30 mars, 2012

MathJax TeX

Med litt hjelp fra @afwings klarte jeg omsider å få TeX på bloggen igjen. Denne gangen prøver vi å få det til med MathJax TeX.

Testing 1..2...3...:

Formelen for løsning av andregradslikninga er \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Eller vi kan sette den som en "displayed equation": \[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\Deilig!

EDIT: Kanskje dette er et godt alternativ også: http://mathandmultimedia.com/2012/03/30/latex-in-blogger-another-alternative/

25 mars, 2012

cos x = x

Likninga \(\cos(x) = x\) er ikke så lett å løse på vanlig vis, men ganske enkel om man gjør det grafisk: Tegn grafene til \(y=cos(x)\) og \(y=x\) og se hvor de krysser hverandre.

Likninga kan også løses slik: Slå inn et gjett på kalkulatoren, f.eks. 2. Trykk cosinus-knappen. Fortsett og trykk på cosinusknappen helt til displayet stabiliserer seg på et tall. Hvorfor blir dette tallet løsninga på \(\cos{x}=x\) ? Ekstraoppgave: Hvorfor virker ikke dette for \(\sin{x}=x\) ?

24 mars, 2012

Matematikklæreren–noen favoritter

Femte og siste innlegg om den typiske matematikklæreren i følge nye lærerstudenter.

Til sist ønsker jeg å dele noen av de som har skilt seg ut blant disse tegningene.

image

Her er det vel liten tvil om symbolikken - den store avstanden mellom læreren og eleven. Ikke bare skal matematikken være vanskelig, den er langt borte og nesten usynlig også.

image

Noen har en såpass solid strek at ti minutter er lang nok tid til å lage et lite kunstverk av den gamle, hyggelige læreren, men også den dypsindige (eller tungsindige?) matematikklæreren med røykpakke i lommen og gjennomtrengende blikk.

image

Tre av fire lærere har blitt tegnet med briller. En annen favoritt som nesten minner om de klassiske karikaturene av John Lennon og Yoko Ono er denne - som viser at det man sitter igjen med etter tretten års skolegang er bildet av matematikklæreren som en eneste stor brille:

 

image

 

Alle barn ser seg selv gjennom de blikk de møtes av. (…) Lærerens blikk kan være en nådeløs dommer

Inge Eidsvåg ( http://www.flux.no/default.pl?showArticle=489&pageId=253 )

Det kan se dystert ut for oss matematikklærere - en av fem har blitt portrettert som mer eller mindre usympatiske i studentens tegninger. At matematikklæreren er usympatisk er en standhaftig myte så vel som en holdning vi skal jobbe for å bryte ned hos disse studentene i årene som kommer. Men tross alt: De aller fleste smiler, og tilsynelatende få smiler av skadefryd! Vi får håpe vi etter hvert får flere forestillinger om matematikklæreren som sola som lyser opp tilværelsen:

image

 

Avslutningsvis velger jeg å gi ordet til Alexander Kielland:

Lærerne gikk som om de gikk igjen. En vissen, grinet flokk, som gjennom årene utviklet hver sin særhet til karikatur; fordi deres ensomme liv var å sitte på kateteret og strø støv på en ungdom de ikke forstod.

Alexander Kielland, Gift, 1883.

 

Du kan lese mer om myter knyttet til matematikk og lærerne i disse referansene:

Alseth, B., (2008) Meninger og myter om matematikk. Kapittel i Newth, E., og Jørgensen, S.R., (2008) Matematikk med din glede, Gyldendal.

Botten, G. (2003) Meningsfylt matematikk, Caspar Forlag.

Du kan se tegningene fra noen av de siste års førsteklassinger ved lærerutdanningen på HiST her (tegningene skulle aldri inneholde navn, men er anonymisert etter beste evne. Skulle noen studenter lese dette og kreve royalties skal jeg med glede øse av overskuddet til bloggen!) :

2010: http://www.slideshare.net/oisteing/matematikklreren-2010

2009: http://www.slideshare.net/oisteing/matematikklreren-2009

22 mars, 2012

Den typiske pedagogikken

Innlegg fire om påtroppende lærerstudenters framstilling av den typiske matematikklærer.

Mange av lærerne som blir tegnet er avbildet med typiske matematikkredskaper. Det kan være ei tavle, en pekestokk eller en kalkulator.

image

At en såpass stor andel lærere skal ha behov for pekestokken (ca. 40 %) kan virke snodig. Jeg kan nesten ikke huske sist jeg så en pekestokk bli brukt i et klasserom. Jeg har vanskelig for å tro at pekestokk-bruken er så utbredt som tegningene indikerer. Ingen har så langt tegnet en lærer med datamaskin og heller ingen tegnet med PowerPoint eller laserpeker heller. Noen vil vel kanskje si at det er et gode, men er det den faktiske virkelighet som framkommer?

image

Kalkulatoren ser ut til å ha hatt sin storhetsperiode og nå har den vel en mer usikker status. Skal man investere i en kalkulator når de fleste har datamaskiner med gratis programvare? Er det viktigere å memorere sekvenser av tastetrykk på en kalkulator enn klikkesekvenser i et dataprogram?

Så godt som samtlige tegninger avbilder en lærer som bedriver frontalundervisning av forskjellig art. Skyldes dette at de er enklest å tegne? Hvorfor er det slik at det å tenke tilbake på skolegangen gir oss bilder av læreren som en presentatør, og ikke som en tilrettelegger eller veileder? Var det ikke dette mange års didaktisk forskning og dertil hørende læreplanrevideringer skulle endre på?

21 mars, 2012

Bok: Creating Positive Classrooms

Denne boka er så lita at den knapt kan kalles ei bok, men OK, det er tross alt hundre sider om enn i ekstremt lite format. Uansett, det er vel heller innholdet man bør fokusere på!

Creating Positive Classrooms er skrevet av Mike Ollerton, en kar jeg har nevnt flere ganger før på bloggen. Han har ei fin liste av utgitte bøker, og du kan også møte ham andre steder på nettet, f.eks. på YouTube.

Denne boka består for det meste av tanker om hva det vil si å være lærer, og i en viss forstand, fokus på det å være matematikklærer, ettersom det er det som er Ollertons hovedvirke. Når jeg leste boka fant jeg det vanskelig å være uenig i noe av det han skriver om, men samtidig var det en del uvante temaer som dukker opp. For eksempel vier han et helt kapittel til temaet røyking (et større problem blant Englands ungdom enn hos oss. En betydelig andel femtenåringer røyker, til tross for at de ikke har lov til å kjøpe sigaretter...). Andre temaer er "Hvorfor det bare er tull å bruke belønnelsessystemer eller straffessystemer". Kort fortalt, hva mener Ollerton om vanlige temaer som lærere før eller senere dumper borti.

Det er vanskelig å se denne boka som en lærebok i noe som helst, snarere er det et debattinnlegg i mange av de debattene som vil finne sted på lærerrommet, eventuelt rektors kontor.

Spesielt likte jeg den relativt enkle og hverdagslige, men svært så idealistiske formuleringen om hvorfor han ikke tenkte å belønne de elevene som hjalp han med å bære overhead eller bøker eller hva det nå måtte være:

"Det er slik siviliserte mennesker bør oppføre seg mot hverandre, og da bør det være nok å gi en hyggelig takk."

Vanskelig å være uenig, men er man i stand til å gå inn i jobben med den holdningen? Jeg håper det!

Matheaspillet

Dette spillet er et kortspill der hensikten er å danne par. Man finner par blant kortene man har på hånden og trekker så inn nye kort. Den med flest par når bunken er brukt opp har vunnet.

Så enkelt kan det gjøres!

Hensikten med spillet er å kunne se mengder på forskjellige måter, for eksempel er det nyttig/viktig for en som utvikler matematikkforståelsen sin å kunne se at både to fingre strukket ut og tallet to og to prikker står for det samme antallet. Veldig simpelt prinsipp, mange varierte (viktig!) eksempler på kort tid bygger forståelse for begreper.
Tenker man skjematisk på dette vil den lærende her støte på nye begrepsuttrykk som kan matche eller ikke matche det skjemaet man allerede har. Her må det kanskje skje en justering av skjemaet for å inkludere forståelsen for at to prikker (et antall) representerer det samme som tallet to (et symbol). Det er jo to fundamentalt forskjellige måter å oppfatte to på (mengde/symbol).


Jeg skriver HENSIKTEN med spillet, men når man vet at det er små barn som har utviklet spillene har de (forhåpentligvis!) ikke tenkt didaktisk på det, men heller laget spill som de synes er artige (noen av disse fire har tildels meningsløse elementer som ungene likevel synes er underholdende). Vanskegraden er relativt lav, så man kan godt komme i gang med spill som dette i 3-4-årsalderen. Kanskje får man ideer til å lage tilsvarende spill selv? (Mange varianter av kortspill der man skal matche begreper fins, se for eksempel en engasjerende variant fra funksjonslære her: Connecting graphs of f, f' and f'' (pdf))

Det var de fire spillene i Mine fire første matematikkspill. Enkle saker, men morsomt og lærerikt for de minste. (Hvor henvender man seg for å bli prøvekanin for flere slike? :)

20 mars, 2012

Den typiske skolematematikken

Innlegg tre av fem om hvordan den typiske matematikklærer blir framstilt av påtroppende lærerstudenter. Les innlegg en her, og innlegg to her.

Omtrent halvparten har tegnet lærere som henviser til ei tavle hvor noe matematisk presenteres. Og på omtrent halvparten av disse igjen er matematikken helt meningsløs. Det kan virke som det abstrakte fremheves, og også at det matematiske symbolspråket har falt vanskelig for mange.


image

Ingen ser ut til å anse det som naturlig å tegne en lærer som prøver å lede en prosess hvor matematikk skapes i klassen, men fokuserer på matematikk som ferdig produkt som presenteres. En gjenganger er også de to strekene under svaret, som peker i retning av at den matematikken man husker fra sin egen skolegang er den som kun hadde ett riktig svar.
Kanskje er det vanskelig å forestille seg hvordan en prosess der matematikk som skapes ser ut. Man ledes til spørsmålet: Skyldes det i såfall at man ikke har opplevd det nok?

19 mars, 2012

SI-enheter

Interessant blogpost om enheter. Var faktisk ikke klar over at det bare var kiloet igjen som må måles i hvelvet i Paris. http://kollokvium.no/2012/03/19/hvor-tungt-er-et-kilo/

17 mars, 2012

Mennesketypen “matematikklærer”

(Innlegg to av fem om studentenes tegninger av den typiske matematikklærer) Se forrige innlegg her.



Kjønn
I en statistikk fra årtusenskiftet (http://www.regjeringen.no/nb/dep/kd/dok/nouer/2003/nou-2003-16/7/3.html?id=370677 ) kan vi se at omtrent tre av fire lærere i grunnskolen er allmennlærerutdannet, og et knapt flertall av disse hadde utdanning i matematikk. Kjønnsfordelingen var nokså lik i ungdomsskolen, mens det i grunnskolen var en forholdsvis stor andel kvinnelige lærere.
Uten unntak har en typisk klasse der denne tegneoppgaven ble gitt, hatt stor overvekt av kvinnelige studenter, gjerne veldig stor - et anslag kan ligge på mellom 60 % - 90 %, varierende fra år til år. Det stemmer også overens med at det er flest kvinnelige lærere i grunnskolen. Jeg spør hvert år om hvor mange som tegnet mannlige lærere, og de fleste rekker opp hånda. Dette misforholdet i seg selv er litt oppsiktsvekkende og overrasker flere av studentene når de ser seg rundt og ser at det i klasserommet stort sett sitter kvinnelige studenter som har tegnet alle disse mannlige lærerne. I løpet av de siste fire årene har kun om lag 10 % av tegningene avbildet kvinnelige lærere. Dette gir et godt utgangspunkt for å diskutere hvordan det kan henge sammen at flest kvinnelige lærerstudenter fører til flest mannlige matematikklærere. Og for den saks skyld, er det nå engang slik at det er flest mannlige matematikklærere? En årsak vi etter hvert har kommet fram til er at de gjerne tegner den siste læreren de har hatt, og det er da gjerne en matematikklærer som de har møtt på videregående skole. Her vet vi at det er overvekt av mannlige lærere.

Framtoning
At man på tvers av klasse og årstall skal få tegninger som de under kan jo få en til å undre seg over hvor sterkt mytene om den typiske matematikklæreren står.

imageimage

Det kan jo tenkes at de faktisk har tegnet den samme læreren, og at denne har gått i like klær ved flere anledinger, men det skal jo godt gjøres. Jeg tror heller det er slik at de har en oppfatning av hvordan den typiske læreren ser ut.
Slike spontane tegninger kan vise sider ved studenters oppfatninger, som man ikke ville fått innsyn i på annen måte. For eksempel har ca. 7 % av de tegnede lærerne klær med tall på. I det virkelige liv kan jeg ikke se for meg særlig mange lærere som faktisk går rundt i klær med tall og symboler på (noen få unntak finnes), så dette henger nok sammen med myten om at man må være “fagidiot” for å i det hele tatt bli matematikklærer.
Videre er en ualminnelig stor del av tegningene lærere med rutete klær (om lag 15 %) og kanskje også vest. Uten å gå i dybden på lærermotens finurligheter kan man merke seg at det i år er en liten nedgang i rutete skjorter på lærertegningene, og det i en tid der rutete skjorter er det som er “in”. Synes elevene at vi lærere følger et helt motsatt motebilde av det reelle?
Ansiktsbehåringen er et moment i seg selv, det viser seg at 40 % av matematikklærere som er tegnet har skjeggvekst, gjerne også bart. (Må her minne om at studentene kommer fra hele landet, men at naturlig nok en stor andel ved vår høgskole kommer fra Trøndelagsfylkene).

 image
Det er også verdt å legge merke til at over 70 % av lærerne er tegnet med briller. Myten om at kloke folk har briller fordi de leser mye, ser ut til å stå sterkt. (Underforstått; matematikklærere er kloke mennesker!)  En mer naturlig forklaring kan være at matematikklærerne ser ut til å tilhøre det eldre segment av lærerstokken.
Andre faktorer som tydeligvis er ment å gi lærerne en uheldig framtoning er dårlig ånde, uheldig påkledning og svetting.

Lynne
Omtrent en femtedel av lærerne er tegnet på en måte som gjør at de framstår som usympatiske. Det kan dreie seg om å lage en fandenivoldsk prøve, latterliggjøre elever som ikke får til eller generelt se aggressive eller sinte ut. Disse usympatiske lærerne gir inntrykk av at det ikke er meningen alle elever skal kunne lykkes i matematikk.

imageimage

16 mars, 2012

Matematikklæreren

(Post en av fem om oppfatningen av en typisk matematikklærer)

Studenter som tar fatt på en lærerutdanning starter gjerne med litt rigide forestillinger og oppfatninger av hva matematikk er og om hvordan matematikkundervisning foregår. De har tross alt opplevd ganske mange timer i uka i ganske mange år med denne aktiviteten på timeplanen. I flere år har jeg nå stilt de ferske lærerstudentene følgende oppgave:
Tegn en matematikklærer (tidsramme: 10 minutter).

Denne oppgaven er en av de aller første de møter, så vi får en (av lærerutdanningen) forholdsvis upåvirket og spontan illustrasjon av hvordan de ser for seg den typiske matematikklæreren og tilhørende undervisning, og dermed kan den også være informativ for oss i videre dialog med studentene. På de neste sidene skal vi dykke ned i noen av de tegningene jeg etter hvert har samlet, og beskrive noen av tendensene som dukker opp.
Totalt har jeg samlet 275 tegninger, altså ikke store mengder, men likevel nok til å kunne gi en god pekepinn på meningene og holdningene studentene besitter. Jeg skal i de neste postene gi eksempler på tegninger og se hva som går igjen når studentene lager spontane framstillinger av læreren. Følg med! Smilefjes

(Hvordan ville du tegnet en typisk matematikklærer?)

06 mars, 2012

Bokanbefaling

På bokskred er det vel snakk om en eller to bøker om matematikk hvert år, og det er vel kanskje ikke mer å forvente når man tenker på omfanget matematikken har blant folk flest. I år oppdaget jeg denne boka på bokskred, og kjøpte den vel ganske ukritisk på grunn av det glorete omslaget og den lave prisen....

Likevel, denne boka byr på svært mye stoff for lærere. Tittelen eleksikon er fullstendig misvisende (det kommer nok av at det er en mer eller mindre leksikalsk serie, der hver bok har sitt tema), da dette er en bok som stort sett inneholder eksperimenter og prosjekter som passer bra på mange klassetrinn. Her er det historikk om utviklingen av matematikk, måter å lage mønstre på, måter å utføre praktiske øvelser ved hjelp av matematikk og så videre.

En lang rekke temaer blir berørt, rekker og funksjoner, mønstre og former, algebra og koordinater, kunst og proporsjoner og en mengde andre ting. Rett og slett en morsom matematikkbok, og til den nette pris av 39 kroner er ikke dette ille :)

Originalen heter "How mathematics work" og det er kanskje en bedre tittel!

Må også nevne at det for et par år siden dukket opp en selger på døra, og han prøvde å selge dette leksikonet - som da var ganske dyrt. Pussig nok er noen av bøkene merket med logoen til Google, men det skulle vise seg i avisoppslag senere at Google ikke kjente til dette. Selgeren ble også mistenkeliggjort (som seg hør og bør for dørselgere ;), men avisa måtte senere beklage og opplyse om at det var helt legitimt salg som ble forsøkt.
Bak på boka står det at man kan gå til www.eleksikon.no og taste inn nøkkelordet Matematikk for å finne nyttige ressurser. Dette fungerer ikke i det hele tatt, så man kan spørre seg om seriøsiteten og hva Cappelen Damm driver med her, men kvaliteten på akkurat denne boka er det imidlertid ingenting å si på.


03 mars, 2012

Kredittkorttall

Kom over denne via StumbleUpon: http://www.mint.com/blog/wp-content/uploads/2011/01/CrackingCreditCode11.jpg

En ganske stilig Infographic som viser hvordan tallkodene på VISA-kortet ditt er bygd opp.

27 februar, 2012

Konvensjoner og konversasjoner

Etter en morsom diskusjon på twitter, initiert av @msdeckard og @hitthebutton, ble jeg sittende og fundere litt på spørsmålet som dukket opp.

Spørsmålet er en klassiker fra nettet, og lyder "Hva er svaret på 6:2(1+2) ?"

Bruk først noen sekunder på å regne ut dette selv.

Bortsett fra noen svært sære måter å bruke assosiativet og distribusjon på- som gir svaret 7 (!) - så er det to svar man ender opp med på denne oppgaven, 1 eller 9.

De fleste er skjønt enige om at man skal legge sammen 1 og 2 inni parentesen først. Regnestykket blir da 6:2(3). Så kommer problemet. Skal man dele 6 på 2 først, slik at det står 3*3, som blir 9? Eller skal man ta 2(3) først, slik at det står 6:6, som blir 1?

 Det verserer flere argumenterer for de to forskjellige løsningene. Det som er vanligst å lære på høyere utdanning er at det "ser ut som om 2(1+2) skal være i nevneren, slik at svaret blir 1, men vi kan ikke være sikre uten å spørre den som lagde spørsmålet". Et ikke helt tilfredsstillende svar - er det virkelig slik at man ikke skal kunne regne ut dette uten å spørre hva som egentlig er ment? Det å se at 2(1+2) skal regnes ut før man deler 6 på dette, kalles en del steder juxtaposition eller grouping, og påstanden er at grupperinger har høyere prioritet enn ganging og deling. Noen entydig definisjon på dette er ikke lett å finne.

I grunnskolen har man lært en mengde prioriteringsregler, og spesielt i amerikansk skole har man lært forkortelser som BODMAS, PEMDAS (Power, exponentiation, division, multiplication, addition, subtraction) (eller Please excuse my aunt Sally (hva nå hun har gjort)) eller andre varianter. Altså at divisjon eller multiplikasjon skal gjøres før den andre. Nå er det imidlertid slik at multiplikasjon og divisjon er sidestilt og det å lage en regel som sier at den ene skal gjøres før den andre vil føre til at de som ikke har denne konvensjonen vil få forskjellige svar. Sannsynligvis er det at M står før D helt tilfeldig, og at det ikke skal tolkes som at multiplikasjon konsekvent skal gjøres før divisjon. Dette er nok også årsaken til at så mange synes hele dette spillet med huskregler er noe tull.

En annen variant er altså om man tenker slik jeg gjorde, nemlig det vi lærte på grunnfaget om at 2(1+2) ser ut til å høre sammen og sannsynligvis er tenkt å være i nevneren. 

En helt annen måte å tenke på (eller rettere sagt, slippe å tenke) er å velge å gjøre likeverdige operasjoner fra venstre mot høyre. Noen programmeringsspråk har implentert denne måten å håndtere prioriteringer på, mens andre, f.eks. APL velger å ikke bruke venstre-mot-høyre-regelen. Etter å ha sjekket litt rundt på nettet finner jeg flere indikasjoner på at man prøver å la venstre-mot-høyre-regelen være den mest gjeldende. Dr. math hevder at begge løsningene i tvetydigheten er riktige, men at konvensjonen han føler er riktig er å gå fra venstre mot høyre. Dette vil da gi at man først tar 6:2, slik at svaret blir 3*3=9. Den mest pålitelige kilden jeg har funnet på dette er imidlertid Norsk matematikkleksikon, der venstre-mot-høyre-regelen blir nevnt ved navn. Hvorfor prøver man å dytte gjennom denne regelen? Ikke så lett å si, men min mening er at den i det minste er mer presis (om enn mer meningsløs) enn å se på hva som hører sammen.

Hvor kommer denne tvetydigheten fra? Jeg vil gjette på at man før kalkulatorens tid aldri skrev brøker lineært, men man brukte teller, nevner og brøkstrek, med 6 i telleren, 2 i nevneren og så plasserte man (1+2) over eller under brøkstreken alt etter som. Det er tross alt det som er poenget her, om denne parentesen skal stå i teller eller nevner.

Et av bildene som verserer på nettet. To CASIO
-kalkulatorer, men forskjellige tolkninger. Hentet
fra 9gag.com
Vi har den samme tvetydigheten med f.eks. 1/2x. Intuisjonen min og konvensjonen fra matematikkstudiet er å tolke dette som 1/(2x). En test i google viser at søkemeteren så tegner grafen til 0.5x, altså at tolkningen er (1/2)x. En artig detalj i denne sammenheng er at Texas Instruments ofte brukte dette eksemplet for å vise at man MÅ bruke parenteser i slike uttrykk. På et tidspunkt (her mangler jeg kilde) skal riktignok TI ha skiftet tolkning i sine kalkulatorer, slik at 1/2x før ble tolket som 1/(2x), men nå blir tolket som (1/2)x. Hva dette skyldes kan vi bare gjette oss til, men kanskje var det mange studenter som skrev 1/2x og mente (1/2)x?

For å ytterligere se hvor vanskelig denne distinksjonen er, kan du google 1/2 pi og 1/2*pi. Du vil få forskjellige svar, noe som viser at Google bruker forskjellige konvensjoner. I noen programmer skilles det også mellom om man skriver * eller et mellomrom.

Et siste element jeg har oppdaget er at man leser mer i notasjonen enn hva som er mulig. For eksempel sier mange at 6:2*(1+2) vil gi 9, mens 6:2(1+2) vil gi 1, da fjerningen av gangetegnet gir oss implisitt multiplikasjon som skal gjøres før divisjonen (grouping) (Samme problemet som ved googling av 1/2 pi). Andre igjen sier at hvis man skriver 6/2(1+2) så er det tydelig at 2(1+2) skal i nevneren, mens på 6:2(1+2)  er det kun (1+2) som skal i nevneren. Oh well. En annen ting å merke seg med notasjonen er at hvis man tolker 2(1+2) som FUNKSJONEN "to ganget med", så skal den prioriteres før divisjonen, men jeg kan ikke finne noe sted at det er lov å kalle en funksjon et tall (jeg er iallfall nesten helt sikker på at det ikke er lov i noe som helst programmeringsspråk).

Uansett hvor man leter på nettet finner man en kontrovers, der det ser ut til at en del mener svaret er 1, en litt større del mener svaret er 9 og de aller fleste i tillegg mener man kan unngå problemet ved å skrive spørsmålet ordentlig. Jeg vil tippe de få kildene jeg har funnet indikerer at venstre-mot-høyre-regelen vil være den mest fornuftige å holde seg til selv om intuisjonen min sliter med å omstille seg fra det vi lærte på studiet. Det er tross alt ikke matematikken det er noe feil eller tvetydig med, men vår måte å skrive ned matematikken på. Vi finner samme problem med a/b/c/d (som ofte skal tolkes (a/b) / (c/d)), og i eksponentiering, som a^b^c.

Finner dere ytterligere kilder på disse tingene er det supert om de postes i kommentarfeltet! En autoritet på nettet, Dr. Math har litt forskjellige poster om dette, f.eks. at saken fortsattes er under debatt/utvikling, eller "you may be old-fashioned, or you may be on the cutting edge".

Spiked math har også latt seg more med denne problematikken.


24 februar, 2012

En barnslig nøtt

Denne "nøtta" har flytt rundt på nettet i mange versjoner, og dukket forleden dag opp i flere språkdrakter omtrent samtidig. Det er rart hvordan slike nettfenomener kommer og går...

23 januar, 2012

Målingsdivisjon

Regnefortelling som sier noe om hvordan man løser 3:4?

"Kjell Gunnar skal dele tre epler på seg og sine tre venner. Han putter eplene i Foodprocessoren og lager eplegrøt. Hvor stor del av grøten får hver?"

10 januar, 2012

AbaCabaDabaCaba

Litt reklame denne gangen. Lulu.com er et nettsted hvor en kan publisere egne tekster og bøker, slik at de kan bestilles i bokformat. Riktignok med en saftig porto fra USA... Mine publikasjoner der er ikke rare greiene, det begrenser seg til pocketbøker med veldig umoden humor, men jeg skal i stedet nevne ei matematikkbok som jeg og femåringen i huset nettopp har hatt mye moro med. Den heter "Maggie and the Abacaba Genies". Boka handler om Maggie som møter flere ånder, med stadig vanskeligere navn. Det som er artig er at det lange ordet/navnet har et system som du må hjelpe Maggie med å gjennomskue. Ordet er for øvrig publisert i et massivt bokverk på tusenvis av sider, og forfatteren anbefaler at du ikke kjøper den :) Likevel kan du finne mønstret som hele ordet besitter og vi hadde det ganske artig med å prøve å si ordet etter hvert som vi leste historien.
Forfatteren er Michael Naylor, som har jobbet sammen med meg på HiST, og han er nå er ansatt på Matematikksenteret.

 

02 januar, 2012

Khan/Tradisjonell

Hvordan i all verden klarer man å sammenlikne tradisjonell undervisning med "blandet Khan-undervisning"? Her er en artikkel om akkurat det, men jeg tror man må inn i bakgrunnsmaterialet her, om dette skal ha noen mening...

http://fm.schmoller.net/2011/12/lessons-learned-from-using-khan-academy-content-in-a-blended-learning-pilot.html

01 januar, 2012

Flere spill (Android/iOS)

Alle har prøvd Angry Birds. Alle. Du har kanskje ikke funnet PC-versjonen (for den finner du gratis med Google Chrome!) og kjørt Angry Birds på en interaktivt SMARTboard-tavle, men du har nok prøvd det på telefonen eller iPaden. Noe av det man kjenner igjen ved Angry Birds er at man får en, to eller tre stjerner som karakter på hvordan man klarte oppdraget sitt. Slik at man kan komme tilbake og spille smartere for å få tre stjerner.
En del andre spill i "logikksjangeren" har også denne stjerneordningen. Jeg har skrevet om Slice it! før, så ta en kikk der. Dette spillet er ganske så populært hos husets firåring, og det er vanskelig nok for husets trettiseksåring også. Mari klarte å dele en figure NØYAKTIG i to på et av brettene der. Ikke verst!

Et annet spill som gir deg karakterer slik at spillet har mange ganger lenger levetid er Cut the rope. Det finner du også i AppStore. I Cut the rope har du en sjarmerende kompis, et monster som venter på godteriet sitt. Det henger i en tråd et eller annet sted på skjermen og du må kutte tråden slik monsteret får godteriet. Noen ganger må du beregne svingen på tauet, noen ganger havner godteriet i en såpeboble som flyter oppover og du må smelle den til rett tid. Det kan også hende du må bruke hårføneren til å blåse bobla dit du vil ha den... 

Et siste spill i samme sjanger er Where is my water? Her kommer det rennende vann og du må guide vannet til dusjen til krokodillen ved å grave i jorda og sende vannet mellom de riktige rørene. I tillegg bør du fange opp så mange som mulig av badeendene på veien. Søt grafikk og omtrent samme vanskegrad som de andre.


Alle disse spillene har et visst logisk tilsnitt, mens Slice it! nok må sies å være litt mer matematisk i og med at du må samenlikne arealer og være litt lur når du med så og så mange kutt skal dele arealet i så og så mange like store biter. Alle er iallfall underholdende og verdt de få (om noen) kronene de koster å få inn på telefonen din.